Узагальнення послідовності Фібоначчи

Узагальнення послідовності Фібоначчи

Означення. Узагальненою послідовністю Фібоначчи 
 A_р(х₁, х₂, …, х_q )   р- ціле число,  q- натуральне число
із  q змінними   називають таку закономірність утворення чисел, котра задається рекурентною формулою у вигляді суми двох членів послідовності, які знаходяться на певній відстані один від одного:

                        A_р= A_р-1 + A_р-q,

де одразу відомі q-перших членів послідовності, а саме 

A₁= х₁, 

A₂= х₂, 

…, 

A_q= х_q , 

де  { х₁, х₂, …, х_q } - дійсні числа, q- ціле число.

Приклади узагальнених послідовностей Фібоначчи:

1)Якщо q=2,  тоді A_р= A_р-1 + A_р-2, де

A₁=1;  

A₂=1;  

A₃=2;  

A₄=3, …  - послідовність Фібоначчи;

2)Якщо q=3,  тоді A_р= A_р-1 + A_р-3, де змінні члени  узагальненої послідовності Фібонначчи:

A₁=k;  

A₂=m;  

A₃=n;  

 де {k, m, n} - дійсні числа, р -ціле число,  тоді  отримаємо наступні члени послідовності із  змінними в обидві сторони, з додатним індексом або від'ємним індексом:

……………………….

A_-11=-8k+4m+n;

A_-10=k-8m +5n

A_-9=5k+m-3n;

A_-8=-3k+5m-2n;

A_-7=-2k-3m+3n

A_-6=3k-2m;

A_-5=3m-2n;

A_-4=n-2k;

A_-3=n-2m+k;

A_-2=k-n+m;

A_-1=m-k;

A₀=n-m;

A₁=k;  

A₂=m;  

A₃=n;   

A₄=n+k;

A₅=n+k+m;   

A₆=2n+k+m;  

A₇=3n+2k+m;    

A₈=4n+3k+2m;

A₉=6n+4k+3m;

A₁₀=9n+6k+4m;

A₁₁=13n+9k+6m;

…………………………..

 {k, m, n} - дійсні числа.